Парадоксом в логике называется противоречие, полученное в результате внешне логически правильного рассуждения, приводящего к взаимно противоречащим выводам. Наличие противоречия свидетельствует либо о несостоятельности посылок (условия), либо о ложности самих рассуждений.
Наиболее распространенной и трудноопределяемой логической ошибкой в рассуждениях, приводящей к парадоксам, является логический круг, который замыкает условие и вывод в единую порочную логическую конструкцию.
Будем для краткости (как это и принято в логике) обозначать большими буквами целые предложения (утверждения). Условимся считать (как это принято в классической, двузначной логике), что любое утверждение А может быть либо истинно, либо ложно и третьего не дано (в реальной жизни, наоборот, утверждения редко бывают истинными и ложными, но чаще всего более или менее правдоподобными — вероятными).
Самый короткий парадокс.
Пусть есть некоторое утверждение: «Я лгу», т. е. А = Я лгу.
В логике любое утверждение может быть либо истинным, либо ложным.
Рассмотрим обе возможности. 1. Пусть А истинно. Тогда я действительно лгу. Значит, А — ложь. 2. Пусть А ложно. Тогда я говорю правду, что лгу. Значит, А — истина. Итак, оба утверждения приводят к противоречию самим себе, т. е. к парадоксу. В чем дело, какие ошибки привели к парадоксу?
Парадокс Журдена.
Пусть имеется карточка, на одной стороне которой написано: «Б. Утверждение на обратной стороне этой карточки ложно».
На оборотной стороне карточки написано: «Б. Утверждение на обратной стороне этой карточки истинно».
Исследуем все логические возможности, т. е. истинность (или ложность) утверждений на обеих сторонах карточки.
1. Пусть утверждение А истинно. Суть утверждения А в том, что утверждение на оборотной стороне истинно — это Б. Но согласно истинному утверждению Б, утверждение А ложно. Приходим к противоречию исходной посылки, выделенной курсивом.
2. Пусть А ложно. Тогда Б ложно. Тогда А истинно. Опять возникло противоречие.
Таким образом, оба случая, исчерпывающие все возможности (1. А — истинно и 2. А — ложно), приводят к противоречию. В чем суть полученного противоречия? Какие ошибки лежат в основе этого парадокса?
Неожиданная плановая контрольная.
Преподаватель объявил студентам, что:
1. В один из следующих шести дней недели (с понедельника по субботу) будет плановая контрольная, в которую войдут задачи на любые темы, пройденные в семестре.
2. Контрольная будет неожиданной, и узнать о ней заранее будет нельзя — только непосредственно на уроке, в день проведения.
Возможно ли вообще проведение плановой, заранее объявленной и в то же время неожиданной контрольной?
Порассуждаем. Если в течение пяти дней (с понедельника до субботы) контрольной не будет, то она может состояться только в субботу, и об этом станет известно уже в пятницу, а следовательно, будет нарушено условие неожиданности. Таким образом, проведение контрольной с соблюдением условия 2 в последний день объявленной шестидневки невозможно, и последний день из возможных дней проведения контрольной следует исключить. Аналогично доказывается, что и в пятницу — в последний из возможных (после исключения субботы) дней контрольная не может быть проведена неожиданно. Действительно, если контрольной не будет в первые 4 дня, то она станет возможной только в пятницу, и об этом станет известно накануне, что будет противоречить второму условию — неожиданности проведения контрольной. Продолжая рассуждения в том же духе, приходим к заключению, что и в первый день отведенной на контрольную учебной недели она невозможна, и потому неожиданная контрольная невозможна ни в один из объявленных для нее дней.
Так возможно ли проведение контрольной с соблюдением обоих условий? Являются ли условия 1 и 2 внутренне противоречивыми и реально невыполнимыми или в рассуждениях о невозможности проведения контрольной закралась логическая ошибка?
Долгожданный сюрприз.
Одному юноше отец наконец пообещал подарить на день рождения многоскоростной горный велосипед, о котором тот давно мечтал. «И это будет для тебя сюрприз», — сказал отец за несколько дней до праздника.
«Какой же это будет сюрприз, если я уже сейчас знаю, что именно получу на день рождения, — подумал сын. — Сюрпризы делать непросто. Надо не только уметь логически мыслить, но и обладать выдержкой — уметь до поры молчать, чтобы действительно подарок был неожиданным. Однако отец всегда точен и логичен. Как же будет в этот раз? Он решит подарить велосипед и обойтись без неожиданностей или все же сделает сюрприз и подарит что-нибудь другое?»
Когда наступил день рождения, отец вручил сыну долгожданный велосипед, и это было для юного логика большой неожиданностью. Практика показала несостоятельность рассуждений сына, но где именно ошибка в его суждениях?
Казнь врасплох на будущей неделе.
В одном государстве, где пока не отменили смертную казнь, о дне приведения приговора в исполнение объявлял специальный судья. Чтобы заключенный мог как-то приготовиться к уходу в мир иной, судья объявлял день смерти заранее, однако из гуманных соображений, чтобы осужденный не слишком мучился, ему объявляли не точный день, а отрезок времени, в течение которого приговор будет приведен в исполнение. При этом закон предполагал, что в случае, если после объявления времени казни она по каким-либо причинам не совершалась, ее заменяли пожизненным заключением. Судья был известен тем, что всегда ясно формулировал приговоры и следил за их точным, буквальным исполнением.
Объявляя в понедельник приговор очередному осужденному на смерть, он, как обычно, приговорил его к смерти в течение следующей недели. Увидев, как изменился в лице осужденный, судья неожиданно для себя добавил: «Конкретный день казни будет для вас неожиданным, и вы узнаете о нем ровно в 9 часов утра, не раньше чем за несколько минут до исполнения приговора». Узника, бывшего хорошим математиком, пронзила смутная догадка, когда он услышал необычную поправку к приговору. Вернувшись в камеру, он принялся обдумывать каждое слово судьи.
«Итак, я могу быть лишен жизни только в один из следующих семи дней, — пытался спокойно рассуждать приговоренный к смерти, — при этом узнать о конкретном дне смерти я могу только в день казни, за несколько минут до нее. Следовательно, раньше, например в день накануне возможной казни, знать о ней я не могу; иначе будет нарушено условие приговора. Однако совершенно ясно, что меня не могут казнить в последний день отведенного срока, т. е. в следующий понедельник, так как о точном дне казни я буду знать не в день казни, а накануне. Таким образом, последний день, когда меня могут казнить, — это воскресенье, но тогда я буду знать об этом в субботу, так как я уже знаю, что в понедельник казнить не смогут. Но ведь тогда, — возликовал узник, — меня не смогут казнить ни в один из последующих семи дней без нарушения условий, объявленных судьей! Но тогда смерть мне заменят пожизненным заключением, а там, глядишь, и еще что-нибудь изменится в лучшую сторону».
Приговоренный еще раз внимательно проверил весь ход своих рассуждений и окончательно удостоверился, что, не нарушая условий судьи, его не могут казнить в течение объявленных судьей семи дней. Впервые после суда заключенный спокойно проспал всю ночь и рано утром позавтракал с отменным аппетитом. Был вторник, и в 9 утра узник вышел из камеры на очередную прогулку, предвкушая удовольствие от движений и свежего воздуха, и вдруг ему объявляют, что через несколько минут его казнят. Заключенный первым делом хотел закричать, что этого не может быть, что правдивый и гуманный судья обещал неожиданность дня смерти, однако вдруг понял, что этот его изумленный крик как раз и будет подтверждением того, что все происходит именно так, как постановил судья.
Итак, повторим задачу без беллетристики. Судья, всегда следящий за точностью исполнения своих приговоров, сформулировал следующие условия казни:
1. Казнь будет произведена в один из ближайших семи дней.
2. Из гуманных соображений день казни будет неожиданным для приговоренного, т. е. он не будет знать о дне своей смерти заранее (например, накануне).
Заключенный рассуждал следующим образом. Меня не могут казнить в понедельник — последний день семидневного срока, так как тогда я точно буду знать день казни в день накануне, а это запрещено условием судьи. Поэтому в следующий понедельник меня казнить не могут. Если же меня казнят в воскресенье, тогда я буду знать об этом накануне, в субботу, так как для возможной казни остается два дня — воскресенье и понедельник, но понедельник уже исключен. Следовательно, остается один возможный день — воскресенье. Таким образом, о казни в воскресенье я буду знать уже в субботу, т. е. заранее, что исключено условием судьи. Рассуждая аналогично, исключаем пятницу, четверг и среду. Таким образом, и завтра, во вторник, меня казнить не смогут, потому что я знаю об этом сегодня, а знать о казни накануне я не должен. Итак, меня не могут казнить ни в один из следующих семи дней.
Заключенного неожиданно для него казнят на следующий день. Практика показала, что заключенный где-то в своих рассуждениях «дал маху», вступив, вероятно, на путь логического круга, но где именно, когда и как это случилось?
Казнь врасплох, назначенная на завтра.
Чтобы окончательно разобраться с парадоксами типа «ожидаемый сюрприз», в основе которого лежит ошибка, называемая логическим кругом, рассмотрим задачу о неожиданной, заранее объявленной казни осужденного в чистом виде.
Пусть судья при всех оговоренных в прошлой задаче условиях назначил не какой-то день казни в течение недели, а конкретный день — завтра. Пусть он сказал примерно так: «Вас повесят завтра ровно в 9.00. При этом факт казни будет для вас полной неожиданностью; в противном случае казнь не состоится».
Итак, возможно ли осуществление казни неожиданно для заключенного, если накануне ему объявили, что его казнят завтра ровно в 9.00? Или на этот раз «дал маху» судья (возможно, коррумпированный), и буквально его приговор выполнить невозможно?